집합 $V$가 다음 10가지 벡터공간의 공리(axioms of vector space)를 만족한다면, 집합 $V$는 벡터공간이라고 할 수 있다.
1. 벡터 합에 대하여 닫혀 있다(closed) : 벡터의 합 u + v가 벡터공간 V 안에 있음을 의미한다. 2. 벡터 합의 교환법칙 : u + v = v + u 3. 벡터 합의 결합법칙 : (u + v) + w = u + (v + w) 4. 합에 대한 항등원 : V 안의 임의의 벡터 u에 대하여, u + O = u를 만족하는 영벡터 O가 존재한다. 5. 합에 대한 역원 : 임의의 벡터 u에 대하여, u + (-u) = O를 만족하는 -u가 존재한다. 6. 스칼라곱에 대하여 닫혀 있다 : 실수 k에 대하여, ku가 벡터공간 V 안에 있음을 의미한다. 7. 스칼라곱의 결합법칙 : 실수 k, c에 대하여, k(cu) = (kc)u가 성립한다. 8. 벡터의 분배법칙 : 실수 k에 대하여, k(u + v) = ku + kv가 성립한다. 9. 스칼라의 분배법칙 : 실수 k, c에 대하여, (k + c)u = ku + cu가 성립한다. 10. 곱에 대한 항등원 : V 안의 임의의 벡터 u에 대하여 1u = u를 만족하는 1이 존재한다.
집합 $V$의 원소가 위에 제시한 10개의 공리를 만족하면, $V$를 벡터공간(vector space)이라 하고, 집합 $V$의 원소를 벡터(vector)라고 한다.
3.1.2) 일반 벡터공간의 기본 성질
일반 벡터공간의 기본 성질 벡터 공간 $V$와 실수 스칼라 k에 대하여 다음이 성립한다.
(a) 임의의 실수 k에 대하여, O가 영벡터라면 kO = O이다. (b) 실수 0과 $V$의 임의의 벡터 u에 대하여, 0u = O이다. (c) 실수 -1과 $V$의 임의의 벡터 u에 대하여, (-1)u = -u이다. (d) 실수 k와 $V$의 임의의 벡터 u에 대하여, ku = O이면 k = 0 또는 u = O이다.
영벡터의 유일성 $V$를 벡터공간이라고 할 때, $V$의 영벡터 O(합에 대한 항등원)는 유일하다.
벡터의 합과 스칼라곱에 관한 성질 벡터공간 $V$와 실수 스칼라 k에 대하여, 공리 5를 만족하는 벡터 -u는 유일하다. u + (-u) = O
3.2) 부분공간
3.2.1) 부분공간의 예
부분공간 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 S가 벡터공간 $V$와 동일한 벡터의 합과 스칼라곱에 대하여 벡터 공간일 때, S를 벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)이라고 한다.
부분집합과 부분공간의 차이는 무엇일까?
벡터공간 $V$의 부분집합은 $V$에서 선택한 원소로 구성된 특정 집합이다. 이 부분 집합이 벡터공간에 관한 10가지 공리를 모두 만족할 때 부분 공간이라고 부른다.
부분공간의 동치 명제 S가 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합일 때, 다음이 성립한다.
S는 V의 부분공간이다. <=> (a) S의 두 원소 u, v에 대하여, 벡터의 합 u + v도 S의 원소이다. (b) S의 원소 u에 대하여, ku도 S의 원소이다. (k는 임의의 스칼라)
이 정리는 집합 S가 벡터공간 $V$의 부분공간이 되려면 두 연산(벡터의 합, 스칼라곱)에 대하여 각각 닫혀있어야 함을 의미한다. 즉, 집합 S가 $V$의 부분공간이라는 것은 두 연산에 대하여 각각 닫혀 있음과 동치라는 의미이다.
정리하자면, 공집합이 아닌 집합 S는 벡터공간의 부분공간이다. <=> (a) S는 벡터의 합에 대하여 닫혀있다. (b) S는 스칼라곱에 대하여 닫혀있다.
3.2.2) 일차결합
일차결합 $v_1, v_2, v_3, ..., v_n$이 벡터공간의 벡터라고 하고 벡터 x가 다음과 같이 표현된다고 하자. $x = k_1v_1 + k_2v_2 + k_3v_3 + ... + k_nv_n$ ($ k_1, k_2, k_3, ..., k_n$은 스칼라) 이때 x를 벡터 $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$의 일차결합(linear combination)이라고 한다.
부분공간의 동치 명제 벡터 u, v를 포함하는 공집합이 아닌 부분집합 S는 벡터공간 $V$의 부분공간이다. <=> 임의의 일차결합 ku + cv는 S의 원소이다. (k, c는 스칼라)
3.2.3) 생성집합
생성 벡터공간 $V$의 모든 벡터를 벡터 $v_1, v_2, ... , v_n$의 일차결합으로 나타낼 수 있으면, 벡터 $v_1, v_2, ... , v_n$은 벡터공간 V를 생성한다(span, generate)고 한다. 이를 $span = {v_1, v_2, v_3, ... , v_n}$으로 표기한다.
3.3) 일차독립과 기저
3.3.1) 일차독립
벡터공간 $V$의 벡터 $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$은 일차독립(linearly independent)이다. <=> 다음을 만족하는 유일한 실수 스칼라 $k_1, k_2, k_3, ... , k_n$이 존재한다. $k_1v_1 + k_2v_2 + k_3v_3 + ... + k_nv_n = O$일 때, $k_1 = k_2 = k_3 = ... = k_n = 0$
위의 정의는 일차결합 $k_1v_1 + k_2v_2 + k_3v_3 + ... + k_nv_n = O$를 만족하는 유일한 해는 스칼라 $k_1, k_2, k_3, ... , k_n$이 모두 0인 것과 같다는 의미이다. 즉, 벡터 $v_j$중 어떤 것도 다른 벡터들의 일차결합으로 만들 수 없음을 의미한다.
3.3.2) 일차종속
벡터공간 $V$의 벡터 $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$은 일차종속(linearly dependent)이다. <=> 적어도 하나는 0이 아닌 실수 스칼라 $k_1, k_2, k_3, ... , k_n$에 대하여 다음이 성립한다. $k_1v_1 + k_2v_2 + k_3v_3 + ... + k_nv_n = O$
3.3.3) 일차독립과 일차종속의 성질
일차종속의 동치 명제 벡터공간 $V$에서 벡터 u, v는 일차종속이다. <=> 두 벡터 u, v 중 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라곱이다.
일반 벡터공간에서 일차종속의 성질 $S = {v_1, v_2, v_3, ... , v_n}$을 벡터공간 $V$에서 일차종속인 벡터들의 집합이라고 하자. 그러면 집합 $T = {v_1, v_2, v_3, ... , v_n, v_n+1}$ 역시 $V$에서 일차종속이다.
위 정의는 벡터를 더 추가해도 일차종속이라는 성질은 변하지 않음을 의미한다.
일차종속의 동치 명제 벡터의 집합 $S = {v_1, v_2, v_3, ... , v_n}$이 일차종속이다. <=> 이 벡터 중 하나를 $v_k$라 하면, 다음과 같이 $v_k$를 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. $v_k = c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 + ... + c_{k-1}v_{k-1}$
위 정의는 벡터 중 하나를 다른 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있다면, 이 벡터들은 일차종속임을 의미한다.
3.3.4) 기저 벡터
벡터공간 $V$에서 n개의 벡터 $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$에 대해 다음이 성립한다. $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$은 $V$의 기저(basis)를 형성한다. <=> (a) $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$이 $V$를 생성한다. (b) $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$은 일차독립이다.
벡터의 집합 {$v_1, v_2, v_3, ... , v_n$}의 일차결합으로 $V$의 모든 벡터를 만들 수 있다면, 이 벡터들이 벡터공간 $V$를 생성한다고 말한다.
3.3.5) 유일성
기저벡터 표현의 유일성 집합 $B = {v_1, v_2, v_3, ... , v_n}$을 벡터공간 $V$의 기저라고 하자. $V$의 모든 벡터는 기저벡터의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다.
