1-2) 일차방정식과 행렬

1.4) 행렬 연산

 

행렬(matrix)은 괄호로 묶인 숫자의 배열이다. 배열한 숫자를 행렬의 성분(entry) 또는 원소(element)라고 한다.

행렬의 열을 그 행렬의 열벡터(column vector)라 하고, 행렬의 행을 그 행렬의 행벡터(row vector)라고 한다.

 

1.4.1) 행렬의 합

행렬의 합 또는 차에서는 동일한 위치에 있는 성분을 더하거나 빼준다. 동일한 크기의 행렬은 더하거나 뺄 수 있다.

 

 

1.4.2) 행렬 x 벡터

행렬 x 벡터는 미지수의 계수로 이루어진 행렬인 A, 미지수로 구성된 벡터인 x, 상수로 구성된 b 를 통해 $Ax = b$ 와 같은 형태로 간결하게 표현할 수 있다.

연립일차방정식을 Ax=b의 형태로 나타낸 예시

일반적으로 행렬과 벡터의 곱 $Ax$는 일차결합으로 정의한다. 또는 행벡터와 변수 벡터와의 내적으로 정의하기도 한다.

 

 

1.4.3) 행렬 x 행렬

행렬 A와 행렬 B를 통해 행렬 곱 AB를 계산하기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다.

(행렬 A의 열 개수) = (행렬 B의 행 개수)

이를 조금 더 쉽게 표현하자면 아래의 사진과 같다. 

($m$ x $r$ 행렬) x ($r$ x $n$ 행렬) = ($m$ x $n$ 행렬)

아래의 문제를 예시로 풀어보면,

각각 (2 x 3 행렬) x (3 x 2 행렬)이므로 (2 x 2 행렬)이 나올 것을 알 수 있다.

선형대수학 초보인 나는,

첫번째 행렬의 행을 각각 $u_1$과 $u_2$, 두번째 행렬의 열을 각각 $v_1$과 $v_2$로 작성해놓고 모양을 만들어놓는다.

이렇게 해놓으면 헷갈리지 않고 빠르게 연산할 수 있었다. 아래는 연산한 결과이다.

 

 

1.5) 행렬 대수

 

1.5.1) 행렬 합의 성질

행렬 합의 성질
A, B, C가 모두 같은 크기의 $m$ x $n$ 행렬일 때, 다음이 성립한다.

(a) A + B = B + A
(b) (A + B) + C = A + (B + C)
(c) A + A + A + A +...+A = $k$A (A를 $k$번 더했을 때)
(d) 다음 성질을 만족하는 $m$ x $n$ 영행렬 O가 존재한다.
                           A + O = A
(e) 다음 성질을 만족하는 행렬 -A가 존재한다.
                           A + (-A) = (-A) + A = O
      행렬 -A를 A의 합에 대한 역원(additive inverse)이라고 한다.

 

1.5.2) 행렬 스칼라곱의 성질

행렬 스칼라곱의 성질
$m$ x $n$ 행렬 A, B와 스칼라 $c$, $k$에 대하여 다음이 성립한다.

(a) $(ck)A = c(kA)$
(b) $k(A + B) = kA + kB$
(c) $(c + k)A = cA + kA$

 

1.5.3) 행렬 곱의 성질

행렬 곱의 성질
A, B, C를 다음과 같은 산술 연산을 수행할 수 있는 적당한 크기의 행렬이라고 한다.

(a) (AB)C = A(BC) (곱의 결합법칙)
(b) A(B + C) = AB + AC (좌 분배법칙(left distributive law))
(c) (B + C)A = BA + CA (우 분배법칙(right distributive law))
(d) A x O = O x A = O (이 경우에는 행렬 곱에서 교환법칙 성립)

+ 일반적으로 행렬 A와 B의 곱셈이 가능한 경우,  AB ≠ BA 이다.

+ 실수 대수의 특징을 행렬 대수에 맹목적으로 적용할 수는 없다.

+ 행렬 A가 정사각행렬이면 행렬의 다음이 성립한다.

 

 

1.6) 전치행렬과 역행렬

 

전치 행렬은 다음과 같이 정의한다.

열벡터의 경우, 행벡터의 전치로 표현하면 공간이 절약된다는 장점이 있다. 

크기가 $m$ x $n$인 행렬의 전치행렬의 크기는 $n$ x $m$로, 모양이 달라질 수 있다.

 

1.6.1) 전치행렬의 성질

전치행렬의 성질
(a) $(A^T)^T$ = $A$
(b) $(kA)^T$ = $kA^T$
(c) $(A + B)^T$ = $A^T$ + $B^T$
(d) $(AB)^T$ = $B^T$$A^T$

 

1.6.2) 항등행렬

항등행렬이란 무엇일까?

항등행렬 $I$는 임의의 행렬 $A$에 대하여 $AI$=$I$를 만족하는 행렬이다.

 

항등행렬 $I$는 위와 같이 정의되는 정사각행렬

항등행렬의 성질

항등행렬 $I$에 대하여 $I^T$=$I$가 성립한다.

 

 

1.6.3) 역행렬

주어진 정사각행렬 A에 대하여, A의 역행렬은 다음을 만족하는 정사각행렬 B이다. 

행렬 A의 역행렬을 $A^{-1}$로 나타내며, 위 경우에는 $A^{-1}$=$B$이다.

 

역행렬과 가역행렬
정사각행렬 A에 대하여 다음을 만족하는 동일한 크기의 정사각행렬 B가 존재하면, 행렬 A를 가역행렬(invertible matrix) 또는 비특이행렬(non-singular matrix)이라고 한다.
AB = BA = I
행렬 B는 행렬 A의 역행렬(inverse matrix)이라 하고, $A^{-1}$라 표기한다.

 

행렬 A와 B의 크기가 같으면 AB = I와 BA = I는 서로 동치이다. 

BA = I이면 행렬 B를 행렬 A의 좌역행렬(left inverse)이라고 한다.

또한 AC = I이면 행렬 C를 행렬 A의 우역행렬(right inverse)이라고 한다.

 

정사각행렬 A에 대하여 $AB = BA = I$를 만족하는 행렬 B가 존재하지 않으면, 행렬 A를 비가역행렬(non-invertible matrix) 또는 특이행렬(singular matrix)이라고 한다.

 

 

1.6.4) 역행렬의 성질

역행렬의 유일성
가역행렬(비특이행렬)의 역행렬은 유일(unique)하다.

위는 가역행렬의 역행렬은 오직 1개라는 의미이다. 수학적으로 가역행렬 A에 대하여 AB = BA = I를 만족하는 행렬 B가 1개만 존재한다는 의미이다.

행렬 A가 가역행렬이면 $A^{-1}$도 가역행렬이고, $(A^{-1})^{-1}$ = $A$이다.

위는 역행렬의 역행렬은 처음 행렬과 같다는 의미이다.

행렬 A, B가 가역행렬이면 AB도 가역행렬이고, $(AB)^{-1}$ = $B^{-1}$$A^{-1}$이다.

위는 두 가역행렬의 곱도 가역행렬이라는 의미이다. 또한 A x B의 역행렬은 행렬 B의 역행렬에 행렬 A의 역행렬을 곱한 것과 같다는 점을 숙지해야 한다. 순서 꼭 유의할 것!

 

행렬 A가 가역행렬이고 $k$가 0이 아닌 스칼라일 때, 행렬 $kA$는 가역행렬이고 $(kA)^{-1}$ = $\frac{1}{k}$$A^{-1}$ 이다.

행렬 A가 가역행렬일 때, 행렬 A의 전치행렬 $A^T$는 가역행렬이고, $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$이다.

 

1.7) 해의 유형

 

행동치란 무엇일까?

한 행렬에 기본 행 연산을 적용하여 다른 행렬이 나온 경우, 두 행렬을 행동치라 부른다.

연립일차방정식과 첨가행렬
연립일차방정식은 참가행렬 (A|b)로 나타낼 수 있다. (A|b)가 첨가행렬 (R|b')과 행동치인 경우, 두 첨가행렬에 대한 연립일차방정식의 해집합은 동일하다.

 + 이는 Ax = b의 해를 구할 때 같은 해를 가지면서 더 쉽게 해를 구할 수 있는 Rx = b'으로 변환해서 풀이할 수 있음을 의미

 

 

1.7.1) 동차 연립일차방정식

 Ax = O

+ 동차 연립방정식은 최소 하나의 해를 가진다

 

 

1.7.2)비동차 연립일차방정식

Ax = b, b ≠ O

 

1.7 요약
- 기약행 사다리꼴 행렬 R에 대해 (A|b)와 (R|b')이 행동치이고, R에서 n을 미지수 개수, r을 0이 아닌 방정식 개수라고 한다.
  이때 r < n이면 연립일차방정식 (A|b)의 해는 무수히 많다.

 

 

1.8) 역행렬

 

1.8.1) 기본행렬

기본행렬이란 항등행렬에 기본 행 연산을 한 번 진행해 얻은 행렬을 의미한다.

기본행렬의 성질
(a) 기본행렬은 가역행렬이다.
(b) 기본행렬의 역행렬도 기본행렬이다.

 

1.8.2) 동치

두 명제 P, Q가 모두 참이거나 모두 거짓이면 두 명제는 동치라 한다.

P <=> Q

연립일차방정식과 행렬에 관한 동치 명제
행렬 A가 $n$ x $n$ 행렬일 때, 다음 네 명제는 동치이다.

(a) 행렬 A는 가역행렬이다.
(b) 연립일차방정식 Ax = O는 오직 자명한 해 x = O만 가진다.
(c) 행렬 A의 기약행 사다리꼴 행렬은 항등행렬 $I$이다.
(d) 행렬 A는 기본행렬의 곱이다.

 

1.8.3) 역행렬 결정

$(A|I)$ x $A^{-1}$ = $(I|A^{-1})$

행렬 A를 항등행렬 I로 변환하는 기본 행 연산은 항등행렬 I를 역행렬 $A^{-1}$로 변환하는 연산이기도 하다.

 

 

1.8.4) 연립일차방정식 풀이법

Ax = b을 풀이 (A는 가역행렬)

다음 두 명제는 동치이다. 
연립일차방정식 Ax = b의 해는 유일하다. <=> 행렬 A는 가역행렬이다.

 

1.8.5) 비가역행렬(특이행렬)

비가역행렬에 관한 동치 명제
행렬 A가 정사각행렬이고 R이 행렬 A의 기약행 사다리꼴 행렬일 때, 다음 두 명제는 동치이다. R은 성분이 모두 0인 행을 가진다.
 <=> 행렬 A는 비가역행렬이다.

 

1.8 요약
첨가행렬 ($A$|$I$)에 기본 행 연산을 하여 첨가행렬 ($I$|$A^{-1}$)로 변환해서 행렬 A의 역행렬을 구할 수 있다. 만약 이 과정에서 모든 성분이 0으로 이루어진 행이 존재한다면 행렬 A는 비가역행렬이다. 즉, 이 경우에는 역행렬을 구할 수 없다.

 

 

참고:

Kuldeep Singh, ⌜한 걸음씩 알아가는 선형대수학⌟, 한빛수학교재연구소, 한빛아카데미(2023)