1.1) 연립일차방정식
일차방정식은 x, y, z와 같은 변수에 대하여 모든 변수의 지수가 1 또는 0인 방정식이다. 이러한 일차방정식의 집합을 연립일차방정식(linear system)이라고 한다.
일차방정식의 그래프는 2차원에서 직선, 3차원에서 평면(plane)이다. 이 때문에 2차원 직선과 3차원 평면을 일차방정식이라 부르고, 이런 방정식을 연구하는 수학 분야를 선형대수학(linear algebra)이라고 한다.
일반적으로 n개의 미지수 x와 m개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
* 위의 식에서 '계수와 상수'만을 이용해 해와 같이 원하는 정보를 얻을 수 있다. *
아래 3가지는 연립일차방정식에 수행 가능한 작업들이다.
1. 두 방정식의 위치를 바꾼다.
2. 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
3. 한 방정식에서 다른 방정식을 빼거나 더한다.
1.2) 가우스 소거법
가우스 소거법을 공부하기 전에 첨가행렬에 대해 알아보자.
미지수 x의 계수와 우변의 상수를 포함하는 위 행렬을 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다. 위의 사진은 상수를 나타내는 b열을 기존 계수행렬에 첨가한 것이다.
위의 사진은 연립일차방정식의 첨가행렬을 구하는 예시이다.
미지수 x, y, z, w, ... 의 값을 찾기 위해 기본 행 연산을 수행하여 연립일차방정식의 해를 구할 수 있다. 이 방법을 가우스 소거법이라고 한다. 일반적으로 가우스 소거법을 이용하면 실수할 가능성이 줄어든다.
강의 중에 이해가 어려워서 참고했던 유튜브 링크를 첨부한다! 아래 영상을 보니 빠르게 이해할 수 있었다.
https://www.youtube.com/watch?v=RgpjVOFzpdk
기약행 사다리꼴(reduced row echelon form, rref)의 네 가지 조건
1. 모든 성분이 0인 행은 행렬의 마지막 행으로 둔다.
2. 0이 아닌 성분이 있는 행에서 첫 번째로 0이 아닌 성분은 1이다. 여기서 1을 선행 1(leading 1)이라고 한다.
3. 모든 성분이 0이 아닌 인접한 두 행의 선행 1은 행렬의 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단으로 단계적으로 구성된다.
4. 선행 1을 포함하는 열에서 0이 아닌 유일한 성분은 선행 1이다.
* 여기서 조건 4만 만족하지 않는 행렬은 '기약'이라는 용어를 빼고 행 사다리꼴(row echelon form)이라고 한다.
* 선행 1은 선행계수(leading coefficient)라고 부르기도 한다.
위의 사진에서 *은 각각 순서대로 각각 x값(해), y값(해), z값(해)을 의미한다.
첨가행렬을 기약행 사다리꼴로 변환하는 과정을 가우스-조단 소거법(Gauss-Jordan elimination)이라고 한다.
1.3) 벡터 연산
벡터란 무엇일까?
물리적으로 벡터란 크기(규모)와 방향을 가진 양(quantity)이다. 즉, 벡터는 단순히 '크기'만이 아닌 '기하학'을 표현할 수 있다.
스칼라란 무엇일까?
스칼라란 특정 수량의 크기를 측정하는 수이다. 길이, 넓이, 부피, 질량, 온도는 모두 스칼라양이다.
$R^2$는 무엇일까?
$R^2$는 데카르트의 이름을 딴 데카르트 좌표계를 나타내는 xy평면이다. 데카르트 평면 위의 점은 O로 표기하는 원점을 기준으로 한 순서쌍이다. 순서쌍은 성분의 순서가 중요하다. a!=b 라면, 좌표 (a,b)와 (b,a)는 다르다.
R은 벡터의 모든 성분이 실수임을 의미한다. 성분이 2개인 모든 벡터의 집합은 $R^2$로 표기하며 'r two'라고 읽는다.
$R^3$ 는 무엇일까?
$R^3$은 3차원 공간으로 세 실수로 이루어진 모든 순서쌍의 집합이다. 'r three'라고 읽으며 xy평면에 z축이라 부르는 세 번째 축을 더해 3차원을 포함하도록 확장할 수 있다. 3차원에서 벡터의 위치는 3개의 좌표 $(x,y,z)$로 주어진다.
$R^n$ 는 무엇일까?
$R^n$은 모든 n차원 벡터의 집합이다. $R^n$은 n-공간(n-space) 또는 n차원 벡터공간(n-dimensional vector space)이라고도 말한다. 또는 유클리드 공간(Euclidean space)으로도 부른다. 유클리드 공간은 실수 n개의 순서쌍 전체를 포함하는 공간이다.
벡터끼리 곱하려면 어떻게 해야하는가?
점곱(dot product)을 취하는 것이 한 가지 방법이다. $R^n$의 벡터 u와 v에 대하여 u・v로 표기한다.
이 곱셈을 벡터 u와 v의 점곱 또는 내적(inner product)이라고 한다. 두 벡터 u와 v의 내적은 각 성분 $u_j$와 이에 대응하는 성분 $v_j$를 곱한 다음 그 결과들을 더하여 얻는다.
내적의 결과는 스칼라값(하나의 실수)으로 나타난다. 내적의 결과를 통해 방향보다는 u와 v, 두 벡터의 각도의 차이를 알 수 있다.
벡터의 일차결합이란 무엇일까?
$v_1$, ... $v_n$을 $R^n$의 벡터라 하고, $k_1$, ... $k_n$을 스칼라라고 한다. 그렇다면 이 내적은 일차결합(linear combination)이다.
영벡터란 무엇일까?
$R^n$에서 영벡터(zero vector)는 모든 성분이 0이지만 '비어 있지 않음'으로 정의하고, O로 표기한다.
참고:
Kuldeep Singh, ⌜한 걸음씩 알아가는 선형대수학⌟, 한빛수학교재연구소, 한빛아카데미(2023)
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